'개인 공부/컴퓨팅 수학' 카테고리의 글 목록

[컴퓨팅 사고] 논리 / 명제 / 증명

프로그래밍이 어려운 이유 - 언어 문법, 라이브러리 최초로 배울 떄 어려울 수 있으나 훈련에 비례하여 늘어남 - 논리 : Hard Logic (★) 논리 - ex) 카드 문제 사실 : 모든 카드의 한쪽에는 알파벳이, 다른 쪽에는 숫자가 써있음 주장 : 만약 한쪽이 D 이면 반대쪽은 3 주장이 사실인지 확인하기 위해 다음 카드들 중 반드시 뒤집어 보아야 하는 것은 몇 개이고 어느 것인가? 답 : D와 7 핵심 : 영어면이 D인 경우에 무조건 숫자면이 3이 와야하는 것이지, 숫자면이 3이라고 무조건 D여야 할 필요는 없다. -> 7뒤에 D가 있는 경우 주장이 성립하지 않으므로 7을 뒤집어야 한다. - 직관적 논리(Soft Logic) vs 진짜 논리(Hard Logic) 사람은 논리적으로 부정확한 Soft ..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2023. 1. 9. 10:42

[수치해석] 크래머 공식 / 가우스 소거법

방정식의 해를 찾는 방법 : 크래머 공식, 가우스 소거법 크래머 공식 행렬식(det)를 사용하여 문제를 해결 성능 : $O(n!)$ $x_{i}=\frac{det(A(i))}{det(A)}, i=1, 2, .., n$ 가우스 소거법 성능 : $O(n^{3})$ (크래머에 비하여 속도가 훨씬 빠르다) 해를 찾기 쉬운 행렬 : 항등 행렬, 삼각 행렬 가우스 소거법은 소거를 통해 행렬을 변형하여 상삼각 행렬로 만듦 순서 : 확장행렬 -> 전방 소거 -> 후방 대입 위에서부터 차례대로 앞의 열을 소거해나감 -> 아래에서부터 하나씩 대입을 통해 해를 구해나감 확장 행렬 : 고정된 값x를 제외한 A와 Y를 모아서 만든 행렬 소거 시 $\frac{제거할-행의-요소}{유지할-행의-요소}$ 로 제거할 행을 모두 곱함 팁 ..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 9. 22. 18:19

[선형대수] 기저, 독립

용어 최종 정리 벡터 공간 : 두 벡터의 스칼라가 0이 아닐 때 생성되는 2차원 평면 공간 (스칼라 곱에 대하여 닫혀있다, 벡터 합에 대하여 닫혀있다) 부분 공간 : 벡터 공간의 부분으로 만든 공간 (스칼라 곱에 대하여 닫혀있다, 벡터 합에 대하여 닫혀있다) 벡터의 일차결합 : $x_{1}v_{1}$ , $x_{2}v_{2}$ , $x_{1}v_{1}$ + $x_{2}v_{2}$ 로 표현이 가능한 경우 벡터의 일차 결합 A의 열공간 ( C(A) ) : 행렬 A의 열을 선형 조합하여 생성한 벡터 공간 벡터의 일차독립(==선형독립) : 스칼라 곱이 0인 경우 독립 종속 : 0이 아닌 값을 스칼라 값이 가져서 결과가 나오는 경우 벡터공간의 기저 (C행렬의 요소, C가 모든 기저를 포함하지는 않음) : 2차원에서 기..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 9. 21. 17:45

[수치해석] 행렬식

행렬식 역행렬이 존재하는지를 확인하는 식 det(A)로 표기 det(A) = ad - bc 유일한 해를 가지기 위한 필요충분조건 n개의 서로 독립된 행 벡터를 가져야 함 독립 : 서로가 서로를 표현할 수 없음 (벡터가 일정한 각을 가지고 있으면 독립적) 종속적인 벡터끼리는 넓이를 가질 수 없음 -> 역행렬을 가지지 않음 -> 해가 없음 or 해가 무수히 많음 행렬식 공식 = $\sum_{i=1}^{3}(-1)^{i+1}a_{li}det((B_li)_{2*2})$ -> 현재 찾기 원하는 위치가 포함된 행/열을 제외한 나머지의 역행렬 계산 값이 0인 경우 역행렬을 가지지 않음 ex) 행렬식 구하기 (C) 행렬식의 성질 대각행렬 : 주대각선만 숫자가 있음 삼각행렬 : 주대각선을 기준으로 0아닌 값이 삼각형으로..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 9. 18. 22:00

[선형대수] 열 공간

벡터의 곱 표현 방법 1) 행열을 통한 표현 $Ax = \begin{vmatrix} 2x_{1} & 3x_{2} \\ 2x_{1} & 4x_{2} \\ 3x_{1} & 7x_{2} \\ \end{vmatrix}$ 2) 벡터의 일차결합을 이용한 표현 $Ax = x_{1}\begin{vmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ \end{vmatrix} + x_{2}\begin{vmatrix} 3 \\ 4 \\ 7 \\ \end{vmatrix}$ 이때 $a_{1}$ 과 $a_{2}$ 를 각각 $\begin{vmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 3 \\ 4 \\ 7 \\ \end{vmatrix}$ 에 대응 시킴 $x_{1}$ 과 $x_{2}$ 는 스칼라 곱이라고 ..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 9. 17. 18:58

[기초통계학] 통계

확률변수 확률변수 실험 결과에 따라 표본 공간의 각 원소에 실수 값 하나를 대응시켜 주는 것 함수 : 표본 공간의 각 원소를 실수 값에 하나씩 대응 확률변수 : 원소에 대응시킨 실수 값 확률변수 종류 이산확률변수 : 어느 구간 내에 존재하는 고립된 값만 선택하는 변수 (1,2,3) 연속확률변수 : 어떤 구간의 모든 실수 값을 선택하는 변수 (정밀측정이 불가능한 키, 몸무게) 확률 분포 확률변수의 조합으로 생기는 확률 값으 분포를 그래프로 나타낸 것 확률함수 이산확률변수일 때, 값에 대한 확률을 나타내는 함수 확률밀도함수 연속확률변수는 연속적이며 무한하기 때문에 분포 확인이 불가능 -> 연속확률변수의 문제를 해결하려면 확률밀도함수가 필요함 확률밀도함수는 특정 구간에 속할 확률을 계산하는 함수 특정 구간의 ..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 4. 8. 13:43

[기초통계학] 확률

확률과 인공지능 통계적 분석 : 독립 변수(X)와 수학적 모델을 입력하여 종속변수(Y)를 출력 인공지능 분석 : 독립 변수(X)와 종속변수(Y)를 알려주면 컴퓨터가 스스로 학습 모델을 생성 인공지능이 발달한다고 하여 확률/통계를 대체하는 것은 아님 -> 인공지능에서 입력 데이터의 가중치를 설정할 때 확률/통계를 사용함 확률 기본 용어 실험 : 동일한 조건에서 여러 번 반복 가능하고 그 결과가 유연으로 결정되는 관찰이나 실험 표본 공간 : 한 실험에서 나올 수 있는 모든 가능한 결과의 집합 근원사건 : 표본 공간을 이루는 개개의 결과 사건 : 근원 사건의 집합, 표본 공간의 부분집합 합사건 : 두 사건의 합집합으로 표현할 수 있는 사건 ( $A \cup B$ ) 곱사건 : 두 사건의 교집합으로 표현할 수 있는..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 4. 7. 22:11

[기초통계학] 수열

수열 규칙성이 있는 숫자의 나열 수열을 이루는 각 수를 항이라고 함(n번째 항 or 제n항) 규칙에 따라 등차수열과 등비수열로 나눌 수 있음 등차수열 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열 공차 : 등차수열에 마주한 두 항의 차이 $a_{n}=a+(n-1)d$ 등비수열 수열의 각 항이 앞의 항에 일정한 수를 곱한 것으로 이루어진 수열 첫 항은 0이 될 수 없음 공비 : 등시수열에 곱해지는 일정한 값 $a_(n)=ar^{n-1}$ (a : 수열, r : 공비) 수열의 극한과 발산 수열의 수렴과 극한 수열 $a_{n}$ 에서 n이 무한하게 커질 때, $a_{n}$ 의 값이 $a$ 에 한 없이 가까워지는 경우 'a에 수렴한다'고 표현 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=a$ ..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 4. 6. 15:20

[기초통계학] 상호좌표계

고유 값, 고유 벡터 고유 벡터 : 선형 변한을 취했을 때 방향은 변하지 않고 크기만 변하는 벡터 고유 값 : 고유 벡터가 변하는 크기 - 고유 값 공식 $det(A - \lambda I) = 0$ ( $\lambda$ 는 구하고자 하는 상수) $=\begin{vmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \\ \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 \\ 0 \end{vmatrix}$ n차 정방행렬 A의 고유 값은 최소 1개에서 최대 n개까지 가질 수 있음 -> 고유 값을 찾았으면, 다시 공식을 이용하여 고유 값에 대응하는 고유 벡터(x1, x2)를 찾아야 함 고유 공간 특정 고유 값에 ..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 4. 5. 18:17

[기초통계학] 행렬

함수의 이해 함수 함수 : 두 집합 사이의 대응 관계, 집합 A의 성분을 집합 B의 성분으로 변환하는 것 상 : 함수의 결과 (y) 원상 : 결과를 나오게 한 값 (x) 정의역 : $F: X\to Y$ 중 집합 X를 의미 공역 : 집합 Y를 의미 치역 : 집합 Y값 중에서 X와 연결된 값 벡터의 변환 : 벡터를 연산을 통하여 변환을 수행하는 것 선형 변환 선형 : 1차원적인 의미 - 특징 중첩성 : f(x+y) = f(x) + f(y) 동질성 : 임의의 수 a에 대해 f(ax) = af(x) 선형 변환 : 선형 결합을 보존(덧셈과 곱셈에 닫혀 있다 == 사용 가능하다)하는 두 벡터 공간 사이의 함수 합의 법칙 : $T(\vec{a}+\vec{b})=T(\vec{a})+T(\vec{b})$ 스칼라 곱의 법칙..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 4. 4. 17:59

[기초통계학] 벡터의 연산

벡터의 덧셈과 뺄셈 벡터의 덧셈 각 성분(요소)을 더하는 것 벡터의 덧셈과 뺄셈은 궁극적으로 위치 벡터를 찾기 위한 계산 평행사변형 법칙 : 벡터 a와 벡터 b의 시작점이 일치할 때 평행사변형의 대각선은 두 벡터의 합을 의미함 삼각형 법칙 : 벡터 a의 끝점과 벡터 b의 끝점을 연결한 벡터는 두 벡터의 합을 의미함 - 벡터 덧셈의 성질 1) 교환 법칙 : A+B = B+A 2) 결합 법칙 : (A+B)+C = A+(B+C) 3) 벡터 덧셈의 항등원이 존재 : A + 0 = A 4) 벡터 덧셈의 역원이 존재 : A + (-A) = 0 역원 : 연산 결과로 항등원을 만드는 원소 벡터의 뺄셈 각 성분을 빼는 것 벡터의 곱셈 내적과 외적으로 구분할 수 있음 벡터의 내적 벡터를 숫자처럼 곱하는 것 한 벡터의 크기..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 3. 20. 10:44

[기초통계학] 도함수의 활용

미분방정식 계수와 차수 계수 : 가장 큰 미분 횟수 (횟수에 따라 'n계 미분 방정식' 이라고 부름) 차수 : 미분방정식의 최고 계수항의 거듭제곱 횟수 독립 변수 x에만 의존하면 선형, 종속 변수 y에 의존하는 항이 있으면 비선형 상미분방정식과 편미분방정식 미분방정식 : 미지의 도함수를 포함하는 방정식 상미분방정식 : 독립변수 한 개로 미분한 도함수만 포함 (ex. $y = x^{2) + 1 $) 편미분방정식 : 독립변수 두 개 이상으로 미분한 도함수를 포함 편미분 : 두 변수 중 하나를 상수로 보고 미분하는 것 (y를 상수로 보고 x를 미분 or x를 상수로 보고 y를 미분) @에 대해 미분,$ f_{@}(x,y)$ 이라고 하면 @를 기준으로 미분함 평균값 정리와 롤 정리 구간 어떤 지점과 다른 지점 사..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 3. 19. 18:57

[기초통계학] 벡터와 공간

선형대수 유형 스칼라, 벡터, 행렬, 텐서 스칼라 숫자 하나로 이루어진 데이터 소문자 x로 표현 $x\in R$ (R은 실수 원소 집합을 의미) 벡터 방향과 순서를 가지고, 차원의 공간에 존재하는 점 데이터의 묶음 $x\in R^{n}$ (n은 벡터가 가지는 데이터의 개수) 행렬 2차원 배열 대문자 X로 표현 ※ 한 사람에 대한 데이터를 표현할 때 벡터는 열로 되어 있으나, 행렬에서는 행으로 표현함 $x\in R^{n\times m}$ (행열을 R의 지수로 표기) 텐서 3차원 이상의 배열 이미지의 채널 등을 표현할 때 사용 벡터 - 기하학적 크기와 방향을 가진 물리량 시작점에서 끝점까지 연결한 화살표 - 대수적 파이썬 등에서 행 벡터, 열 벡터로 사용하는 경우 원소를 가지는 순서쌍으로 사용 벡터의 특징 ..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 3. 19. 11:07

[기초통계학] 다항함수의 미분

평균 변화율 미분 (=순간변화율) : 찰나의 순간에 변화율을 구함 찰나의 변화율을 순간변화율 또는 미분계수라고 부름 평균 변화율 = $\frac{y 증가량}{x 증가량}=\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 두 정점을 지나는 직선의 기울기 미분계수 (순간 변화율) x의 증가율이 0으로 가까이 갈 때 평균 변화율 ( 함수 y=f(x)가 있을 때, (a, f(a))에서 접선의 기울기 순간 변화율 = $f'(a)$ = $\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 순간 변화율 계산 방법 평균 변화율을 구함 순간변화율 공식 (전부 정리 후 h = 0 삽입) = 평균변화율 결과 도함수 f(x)를 미분하여 얻..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 3. 18. 16:51

[기초통계학] 미분

미분 인공지능 용어 정리 입력층 (input) : 데이터가 입력되는 계층 은닉충 (hidden) : 입력층과 출력층 사이에 위치, 판별 경계를 찾는데 사용 출력층 (output) : 활성화 함수 값을 계산하여 출력을 결정 가중치 (weight) : 신호가 결과에 주는 영향력을 조절, 가중치가 클수록 중요함 가중합 (weighted sum) : 입력 값과 가중치의 곱을 모두 더한 후 편향을 더함 편향 (bias) : 가중합에 더하는 상수, 최종으로 출력되는 값을 조정하는 역할 활성화 함수 (acivation function) : 가중합 결과에 따라 다음 뉴런으로 보낼 0과 1을 판단하는 함수 (ex. 시그모이드 함수, 렐루 함수) 미분 인공지능에서 가중치와 편항을 구하는 역전파에 활용 미분 : 한 점에서의..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 3. 17. 22:26

[기초통계학] 지수 & 기하학 & 로그

지수 지수 : 거듭제곱의 횟수를 나타내는 문자나 숫자 cf. y = an (a = 밑, n = 지수) 지수 법칙 합 : am * an = am+n 차 : am / an = am-n 곱 : (am)n = amn 거듭제곱 특징 (0이 아닌 경우에만 해당) 실수의 제곱은 항상 1임 : 20 = 1 실수의 1제곱은 실수 값과 동일함 : 21 = 2 실수의 음의 제곱은 ( 1 / 실수 제곱 ) : 2-1 = 1/2 거듭제곱근 제곱근 : 제곱의 반대가 되는 개념 (양수와 음수를 모두 포함함) cf. 2는 8의 세제곱근, 8은 2의 세제곱 거듭제곱근의 성질 1) 거듭제곱근이 같은 곱셈과 나눗셈은 하나의 거듭제곱근으로 묶을 수 있음 2) 거듭제곱은 거듭제곱근 안으로 들어갈 수 있음 3) 거듭제곱근끼리 곱할 수 있음 4..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 3. 16. 16:33

[기초통계학] 기초 수학

변수와 수식 변수 : 변하는 수 상수 : 변하지 않는 수 항 : 문자의 곱으로 구성된 식 (cf. a^2 a, 1) 상수항 : 숫자만 있는 항 계수 : 항에서 변수에 곱해진 상수(숫자) 단항식 : 항이 하나인 식 (cf. 2x, y) 다항식 : 항이 여러개인 식 (cf. 2x + y) 차수 : 문자를 곱한 횟수 (제곱) 여러 변수를 가지는 다항식에서는, 변수에 따라서 다항식의 차수가 다를 수 있음 수식 : 변수와 상수를 연산자를 이용하여 표현한 식 항정식과 부등식 등식 : 등호를 기준을 양쪽에 숫자와 문자로 구성된 식이 같음 방정식 : 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식 n차 방정식 : 차수가 n인 방정식 좌변 또는 우변을 이항 했을 때 차수가 없으면 n차 방정식이 아님 차수에 곱해진..

개인 공부/컴퓨팅 수학 2022. 3. 15. 11:48

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