[기초통계학] 행렬

함수의 이해

함수

함수 : 두 집합 사이의 대응 관계, 집합 A의 성분을 집합 B의 성분으로 변환하는 것

 

상 : 함수의 결과 (y)

원상 : 결과를 나오게 한 값 (x) 

 

정의역 : $F: X\to Y$중 집합 X를 의미

공역 : 집합 Y를 의미

치역 : 집합 Y값 중에서 X와 연결된 값 

 

 

벡터의 변환 : 벡터를 연산을 통하여 변환을 수행하는 것

 

 

 

선형 변환

선형 : 1차원적인 의미

 

- 특징

중첩성 : f(x+y) = f(x) + f(y)

동질성 : 임의의 수 a에 대해 f(ax) = af(x)

 

 

선형 변환 : 선형 결합을 보존(덧셈과 곱셈에 닫혀 있다 == 사용 가능하다)하는 두 벡터 공간 사이의 함수

합의 법칙 : $T(\vec{a}+\vec{b})=T(\vec{a})+T(\vec{b})$

스칼라 곱의 법칙 : $T(c\vec{a})=cT(\vec{a})$

 

연산을 수행할 때 순서가 바뀌면 다른 변환이 될 수 있음

 

 

 

정사영

정사영($\vec{A'}$) : 특정 도형(선분)에 빛을 비추었을 때, 그 빛과 수직인 평면에 생기는 그림자

표현 : $\vec{A'}$ 또는 $proj_{\vec{B}}(\vec{A})$

 

ex) 벡터 A를 벡터B로 정사영 하겠다. 

= $proj_{\vec{B}}(\vec{A})=\frac{\vec{A}\cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}\vec{A}$

 

 

 

역함수

역함수($f^{-1}$) : 변수와 함수 값을 서로 뒤바꾸어 얻는 함수

 

- 역함수의 성질

1) $(f^{-1})^-1 = f$

2) $(f\circ f^{-1})(\vec{x}) =\vec{x}$

3) $(f^{-1}\circ f)(\vec{x}) =\vec{x}$

-> $f^{-1}\circ f = f\circ f^{-1} = I$ (항등함수)

 

역함수를 가지는 함수를 가역함수라고 함

 

 

전사함수 (모두 연결)

공역의 모든 원소(y)에 대해 x가 하나이상 연결되어 있어야 함

공역에 연결되지 않은 원소가 없어야 함(여러 개가 하나의 원소에 연결되는건 상관없음)

 

 

단사함수 (하나씩만 연결)

공역의 모든 원소(y)가 하나만 연결되어야 함 (두 개 이상 연결되면 안됨)

공역에 연결이 되지 않은 원소가 있어도 됨

 

 

전단사함수 (모두 연결이면서 하나씩만 연결)

공역의 모든 원소(y)가 하나만 연결되어 있어야 하고, 연결되지 않은 원소도 없어야 함

 

 

역함수를 갖는 함수를 가역함수라고 하며, 가역함수의 필요충분조건은 전단사함수임

-> 전단사함수가 아닌 함수는 역함수를 만들 수 없는 비가역함수

-> 전단사함수 == 가역함수

 

 

 

역행렬

역행렬 : 어떤 행렬 A에 곱을 했을 때 단위행렬이 나오게 하는 행렬

$AB = BA = I$

 

- 역행렬 공식

2차원 방정식의 역행렬 공식

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{vmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{vmatrix}$

 

- 역행렬의 성질

1) $(A^{-1})^{-1} = A$
2) $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
3) $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

 

 

 

전치행렬

전치행렬(Transpose) : 열과 행을 바꾼 행렬 ($m\times n \to n\times m$)

 

- 전치행렬의 성질

1) $(A^{T})^{T}=A$ 

2) $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

3) $(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$

4) $(kA)^{T} = kA^{T}$ (상수는 전치행렬의 영향을 받지 않음)

 

- 전치행렬 구하는 방법

1) 주 대각선은 한줄씩 모든 요소끼리 곱한 것을 +, 부 대각선은 한줄씩 모든 요소를 곱한 것을 -

 

2) + - + 사용

 

 

전치행렬의 역

행렬이 가역성을 가지면 전치행렬도 가역성을 가짐

$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$이 성립함