[기초통계학] 벡터의 연산

벡터의 덧셈과 뺄셈

벡터의 덧셈

각 성분(요소)을 더하는 것

벡터의 덧셈과 뺄셈은 궁극적으로 위치 벡터를 찾기 위한 계산

 

평행사변형 법칙 : 벡터 a와 벡터 b의 시작점이 일치할 때 평행사변형의 대각선은 두 벡터의 합을 의미함

삼각형 법칙 : 벡터 a의 끝점과 벡터 b의 끝점을 연결한 벡터는 두 벡터의 합을 의미함

 

- 벡터 덧셈의 성질

1) 교환 법칙 : A+B = B+A

2) 결합 법칙 : (A+B)+C = A+(B+C)

3) 벡터 덧셈의 항등원이 존재 : A + 0 = A

4) 벡터 덧셈의 역원이 존재 : A + (-A) = 0

역원 : 연산 결과로 항등원을 만드는 원소

 

 

벡터의 뺄셈

각 성분을 빼는 것

 

 

 

벡터의 곱셈 

내적과 외적으로 구분할 수 있음

 

 

벡터의 내적

벡터를 숫자처럼 곱하는 것

한 벡터의 크기를 구하거나 두 벡터 사이의 거리를 측정하는데 사용

dot product

 

- 스칼라 곱

방향은 그대로면서 크기를 키움

 

- 스칼라 곱의 성질

1) 결합 법칙 : (ab)v = a(bv)

2) 분배 법칙 : (a + b)v = av +bv

3) 스칼라 곱셈의 항등원이 존재 : 1v = v

 

 

- 벡터의 내적

방법 1) 좌표 값의 각 성분을 곱해서 더하는 것 (행렬에서 쓰이는 방식)

방법 2) 벡터의 크기를 곱하는 것 ($|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$)

cos90 이 0이기 때문에 두 벡터가 직교할 경우 0이 나옴

 

- 벡터의 내적 조건

1) 벡터 x와 벡터 y의 길이가 같아야 함

2) 앞의 벡터가 행 벡터이고 뒤의 벡터가 열 벡터이어야 함

3) 내적의 결과는 스칼라

 

- 내적의 성질

1) 교환 법칙

2) 분배 법칙

3) $(k\vec{a})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot (k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot \vec{b})$

 

 

벡터의 외적

3차원 공간에 있는 벡터 간 연산 중 하나

벡터곱 이라고 함

연산의 결과가 벡터

 

- 외적의 특징

방향 : 벡터 a와 벡터 b에 동시에 수직

크기 : 벡터 a와 벡터 b를 변으로 하는 평행사변형의 넓이

 

- 외적의 성질

1) 반대칭성 : $\vec{a}\times \vec{b} = \vec{-b} \times \vec{a}$

2) 분배법칙 : $\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c}) = \vec{a}\times \vec{b}\cdot \vec{a}\times \vec{c}$

3) $\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}$

 

 

 

직교 벡터

직교 벡터 : 두 벡터 사이의 각도가 90도를 이루는 것

 

 

벡터의 크기와 거리

- 벡터의 크기(norm)

벡터의 크기 = 벡터의 길이 = 벡터의 norm = ||v||

 

$|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$

 

 

- 벡터의 거리/유사도

두 벡터 간의 거리를 의미

유클리드 거리, 맨해튼 거리, 코사인 거리 등으로 유사도를 측정할 수 있음

 

 

- 유클리드 거리

두 벡터 간 직선거리를 구함

벡터의 차로 구할 수 있음

 

시작점($x_{1},x_{2}$), 끝점($y_{1},y_{2}$)일 때,

d(\vec{x},\vec{y})=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}

 

 

- 맨해튼 거리

사각형 격라도 된 지도에서 출발점부터 도착점까지 가로지르지 않고 갈 수 있는 최단 거리를 구하는 공식

 

시작점($x_{1},x_{2}$), 끝점($y_{1},y_{2}$)일 때,

$d(\vec{x},\vec{y})=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$

 

 

- 코사인 유사도

두 벡터의 방향이 같을수록 벡터가 비슷하다고 간주, 두 벡터 간의 각인 코사인 값을 의미

각이 작을수록 1에 가깝고, 각이 클수록 -1에 가까워짐

$유사도=cos\theta =\frac{A\cdot B}{|A||B|}$

 

 

 

열 공간과 영 공간

행렬-벡터의 곱

aXb 행렬과 cXd 벡터(행렬)을 곱할 때 b와 c가 동일해야만 곱이 가능함 (결과로 aXb 도출)

 

 

행렬의 열 공간

행렬 A의 열을 선형 조합하여 생성한 벡터 공간

 

 

행렬의 영 공간

행렬 A와 벡터 x를 곱했을 때 그 결과가 0이 되는 모든 열 벡터 x의 집합