[기초통계학] 다항함수의 미분

평균 변화율

미분 (=순간변화율) : 찰나의 순간에 변화율을 구함 

찰나의 변화율을 순간변화율 또는 미분계수라고 부름

 

 

평균 변화율 = $\frac{y 증가량}{x 증가량}=\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

두 정점을 지나는 직선의 기울기

 

 

 

미분계수 (순간 변화율)

x의 증가율이 0으로 가까이 갈 때 평균 변화율 (

함수 y=f(x)가 있을 때, (a, f(a))에서 접선의 기울기

 

순간 변화율 = $f'(a)$ = $\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

 

 

순간 변화율 계산 방법 

평균 변화율을 구함

순간변화율 공식 (전부 정리 후 h = 0 삽입) = 평균변화율 결과

 

 

 

도함수

f(x)를 미분하여 얻은 함수 f'(x)

 

원래는 미분 계수를 사용하여 계산함

 

지수를 한 단계 낮추고 상수와 곱함, 이때 지수가 없는 상수는 제거

ex) $f(x) = 2x^{2} - 1$ 일 때 도함수 f'(x)를 구하라

$f'(x)= 4x$

 

 

 

함수의 연속과 미분 가능성

어떤 함수가 $x = a$에서 미분이 가능하다 === $x=a$에서의 미분 계수가 존재한다는 의미

$\therefore$ 미분 가능성 = 미분계수 = 평균변화율의 극한값

 

미분 가능 $\subset $ 함수 연속

1) 미분 가능하면 연속임

2) 연속이라고 항상 미분이 가능한 것은 아님 (ex. y = |x|)

 

그래프가 뾰족하거나, 불연속인 경우에는 미분이 불가능함

 

 

 

다항항수의 미분법 공식

1) $f(x) = c$이면 $f'(x) = 0$

2) $f(x) = x^{n}$이면 $f'(x) = nx^{n-1}$

3) ${cf(x)}' = cf'(x)$

4) ${f(x) +- g(x)}' = f'(x) +- g'(x)$

5) ${f(x)g(x)}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$