[기초통계학] 수열

수열

규칙성이 있는 숫자의 나열

수열을 이루는 각 수를 항이라고 함(n번째 항 or 제n항)

규칙에 따라 등차수열과 등비수열로 나눌 수 있음

 

 

등차수열

연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열

공차 : 등차수열에 마주한 두 항의 차이

$a_{n}=a+(n-1)d$

 

 

등비수열

수열의 각 항이 앞의 항에 일정한 수를 곱한 것으로 이루어진 수열

첫 항은 0이 될 수 없음

공비 : 등시수열에 곱해지는 일정한 값

$a_(n)=ar^{n-1}$ (a : 수열, r : 공비)

 

 

 

수열의 극한과 발산

수열의 수렴과 극한

수열 $a_{n}$에서 n이 무한하게 커질 때, $a_{n}$의 값이 $a$에 한 없이 가까워지는 경우 'a에 수렴한다'고 표현

 

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=a$ 

 

 

수열의 발산

어떠한 값도 수렴하지 않는 수열

발산 유형 : 양의 발산, 음의 발산, 진동

 

$a_{n}$이 양수이면서 값이 한없이 커지면 양의 무한대로 발산한다고 표현

$a_{n}$이 음수이면서 절대값이 한없이 커지면 양의 무한대로 발산한다고 표현

 

양의 무한대로 발산 : $\displaystyle \lim_{n \to \infty }a_{n} = \infty$

음의 무한대로 발산 : $\displaystyle \lim_{n \to \infty }a_{n} = -\infty$

진동

 

 

수열의 진동

수열이 수렴하지도 않고, 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 경우

일정하게 진동 or 무한히 커지면서 진동

 

 

 

수열 극한에 대한 성질

- 수렴하는 수열의 극한의 성질 ($\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\alpha$, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n}=\beta$)

1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}ca_{n}=c\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=c\alpha$

2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_{n}+b_{n})=\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}+\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n}=\alpha + \beta$

3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_{n}-b_{n})=\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}-\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n}=\alpha - \beta$

4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n}=\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n}=\alpha \beta$

5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}}{\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n}}=\frac{\alpha}{\beta}$

 

 

극한 값 풀이 방법 : 분자와 분모를 각각 분모의 최고차항으로 나눈 후, n에 0을 대입하여 계산

 

 

 

등비수열의 수렴과 발산

a와 r에 따라 수렴과 발산 여부가 결정됨

 

1) $a=0$인 경우 0으로 수렴

 

2) $a\neq 0$인 경우,

r>1 일 때, $\infty$로 발산

r=1 일 때, a로 수렴

-1 < r < 1 일 때, 0으로 수렴

r = -1 일 때, a, -a로 발산(진동)

r < -1 일 때, $-\infty$로 발산

 

 

 

순열

순열 (중복 불가)

서로 다른 n개에서 서로 다른 r개를 선택하여 일렬로 나열하는 것 = n개에서 r개를 선택한 순열 = $_{n}P_{r}$

팩토리얼(n!) : 서로 다른 n개를 나열하는 경우의 수

 

$_{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$

 

ex) 1~5까지 숫자 중 세 개를 선택하여 세자리 자연수를 만드는 방법의 수

$_{5}P_{3}=5\times 4\times 3 = 60$

$_{5}P_{3}=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{\times 2\times 1} = 60$

 

- 순열의 성질

1) 0!=1

2) $_{n}P_{0}=1$

 

 

중복순열 (중복 가능)

n개중 중복을 허락하고 r개를 일렬로 나열하는 수

 

$_{n}\prod_{r} = n^{r}$

 

 

 

조합

조합 (순서 경우 제외 / 중복 불가)

서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 선택 (ex. (1,3)과 (3,1)은 같은 경우로 취급)

 

$_{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

 

$_{n}C_{r}=_{n}C_{n-r}$ 도 성립함

 

 

중복조합 (순서 경우 제외 / 중복 가능)

n개에서 중복을 허락하여 r개를 선택

$_{n}H_{r}=_{n+r-1}C_{r}$