[기초통계학] 확률

확률과 인공지능

통계적 분석 : 독립 변수(X)와 수학적 모델을 입력하여 종속변수(Y)를 출력

인공지능 분석 : 독립 변수(X)와 종속변수(Y)를 알려주면 컴퓨터가 스스로 학습 모델을 생성

 

인공지능이 발달한다고 하여 확률/통계를 대체하는 것은 아님 

-> 인공지능에서 입력 데이터의 가중치를 설정할 때 확률/통계를 사용함

 

 

 

확률 기본 용어

실험 : 동일한 조건에서 여러 번 반복 가능하고 그 결과가 유연으로 결정되는 관찰이나 실험

표본 공간 : 한 실험에서 나올 수 있는 모든 가능한 결과의 집합

근원사건 : 표본 공간을 이루는 개개의 결과

사건 : 근원 사건의 집합, 표본 공간의 부분집합

합사건 : 두 사건의 합집합으로 표현할 수 있는 사건 ($A \cup B$)

곱사건 : 두 사건의 교집합으로 표현할 수 있는 사건 ($ A \cap B $)

여사건 : 사건 A가 일어나지 않는 사건 ($A^{c}$)

배반 사건 : 두 사건이 동시에 일어나지 않는 사건 (곱사건이 0 :  $A \cap B=0$)

 

 

사건의 확률

확률 : 어떤 실험에서 사건 A가 일어날 가능성을 수로 나타낸 것

$P(A)$

 

사건의 확률 : 동일 조건에서 실험을 반복할 때, 그 사건이 일어나리라 예상되는 횟수의 비율

n(S) : 표본 공간의 원소 개수

n(A) : 사건 A의 원소 개수

$P(A) = \frac{A가-일어날-경우의-수}{모든-경우의-수} =\frac{n(A)}{n(S)}$

 

- 확률의 성질

1) 임의의 사건 A에 대한 확률 P(A)는 0 <= P(A) <= 1

2) 반드시 일어나는 사건 S에 대해 확률 P(S) = 1

3) 절대로 일어나지 않는 사건 N에 대해 P(N) = 0

-> 확률은 최소 0, 최대 1이다.

 

 

 

독립사건과 종속사건

독립사건 : 한 사건의 결과가 다른 사건에 영향을 주지 않는 경우

종속사건 : 한 사건의 결과가 다른 사건에 영향을 미치는 경우

 

 

 

조건부 확률

사건 A가 일어났을 때 다른 사건 B가 일어날 확률

(ex. 노트북을 가진 학생이 전체 학생 수의 60%일 때, 노트북을 가지고 있으면서 안경을 쓴 학생은 전체 40%이다. 이때 전체 학생 중 노트북을 가지고 있으면서 안경을 쓴 학생 수는 얼마인가?)

 

$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

 

$P(B|A)$ : A 조건하에 B가 일어날 확률

$P(A, B)=P(AB)=P(A\cap B)$ : 동시에 일어날 결합 확률

 

 

 

베이지안 이론

확률

빈도 확률 : 모든 것은 실험으로 알 수 있음, 여러 번 반복 실험으로 얻은 객관적인 정보

베이지안 확률 : 실험하지 않아도 주어진 정보들을 이용하여 확률적으로 표현

 

 

빈도확률

사건이 반복되는 사건의 빈도

특정 사건이 얼마나 빈번하게 반복해서 발생하는지 관찰하고 가설을 세워 모델을 검증

 

베이지안 확률

일어나지 않았거나 불확실한 사건에 대한 확률

주관적인 가설의 사전 확률을 정하고 관찰된 데이터를 기반으로 가능도를 계산하여 처음 설정한 주관적 확률을 보정

 

사전 확률과 우도 확률을 통해 사후 확률을 알 수 있음

 

사전 확률 ( $P(A)$ ) : 결과가 나타나기 전에 결정된 원인(A)의 확률

우도 확률 ( $P(B|A)$ ) : 원인(A)이 발생하였다는 가정하에 결과(B)가 발생할 확률

사후 확률 ( $(A|B)$ ) : 결과(B)가 발생하였다는 가정하에 원인(A)이 발생할 확률

주변 우도 : ( $P(B)$ ) : 사건(B)의 확률

 

 

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

$P(A\cap B)=P(B|A)P(A)$