[선형대수] 기저, 독립

용어 최종 정리

벡터 공간 : 두 벡터의 스칼라가 0이 아닐 때 생성되는 2차원 평면 공간 (스칼라 곱에 대하여 닫혀있다, 벡터 합에 대하여 닫혀있다)

 

부분 공간 : 벡터 공간의 부분으로 만든 공간 (스칼라 곱에 대하여 닫혀있다, 벡터 합에 대하여 닫혀있다)

 

벡터의 일차결합 : $x_{1}v_{1}$, $x_{2}v_{2}$, $x_{1}v_{1}$ + $x_{2}v_{2}$로 표현이 가능한 경우 벡터의 일차 결합

 

A의 열공간 ( C(A) ) : 행렬 A의 열을 선형 조합하여 생성한 벡터 공간

 

벡터의 일차독립(==선형독립) : 스칼라 곱이 0인 경우 독립

<-> 종속 : 0이 아닌 값을 스칼라 값이 가져서 결과가 나오는 경우

 

벡터공간의 기저 (C행렬의 요소, C가 모든 기저를 포함하지는 않음) : 2차원에서 기저 벡터의 개수는 2개

각이 0인 두 벡터는 하나만 있는 것과 동일하기 때문에 기저가 되지 않음

 

벡터공간의 차원 : 기저 벡터의 개수를 의미함 (ex. 3차원 -> 3개의 기저 벡터, 10차원 -> 10개의 기저 벡터)

 

행렬 A의 랭크 : 열공간의 차원이 A의 랭크 = C의 차원이 랭크

 

 

 

기저

A = CR (C = 기저의 집합, R = 기저가 되지 못한 열)

 

기저 (C)

A의 열로부터 얻은 행렬

기저 수 <= 열의 개수

기저의 열은 서로 일차독립

항등행렬, 삼각행렬은 무조건 전체가 기저임

 

- 기저 찾는 방법

1) 첫 번째 열이 영벡터인가? -> No이면 삽입

2) 첫 번째 열과 두 번째 열이 서로 독립인가? -> 독립이면 삽입

3) n번째 열이 1~(n-1)과 서로 독립인가? (열의 곱, 열과 열을 더한 값, 더한 값의 곱으로 결과가 나오는 경우 종속)

-> 독립이면 삽입

 

 

- 예제

 

1)

 

 

2)